Somme de vecteurs - Propriétés

Propriétés

Soit \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs du plan. On a les propriétés suivantes.

• Associativité :\(\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)\).
  
• Élément neutre : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\).  
  
• Commutativité : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\).

Démonstration

Soit \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs du plan.

Montrons que \(\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)\).
Soit \(\text A\) un point du plan. On construit le point \(\text B\) tel que \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}\), puis le point \(\text C\) tel que \(\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}\) et enfin le point \(\text D\) tel que \(\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{w}\).
Dans un premier temps, l'image du point \(\text{A}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) est le point \(\text C\) et, puisque l'image du point \(\text C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{w}\) est le point \(\text D\), alors l'image du point \(\text A\) par la translation de vecteur \(\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w}\) est le point \(\text D\). Dans un second temps, l'image du point \(\text{A}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) est le point \(\text B\) et, puisque l'image du point \(\text B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\) est le point \(\text D\), alors l'image du point \(\text A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u} + \left( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\right)\) est le point \(\text D\).
Ceci étant vrai pour tout point \(\text A\) du plan, on a \(\boxed{\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)}\).

Montrons que \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\).
Soit \(\text A\) un point du plan. On construit le point \(\text B\) tel que \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}\), puis le point \(\text C\) tel que \(\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{0}\) .
Ainsi, l'image du point \(\text{A}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}\) est le point \(\text C\). Or, puisque \(\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{0}\), les points \(\text B\) et \(\text C\) sont confondus. Donc l'image du point \(\text{A}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}\) est le point \(\text B\). Donc on a \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{\text{AB}}\) soit \(\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}}\).

Montrons que \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\).
Soit \(\text A\) un point du plan. On construit le point \(\text B\) tel que \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}\), puis le point \(\text C\) tel que \(\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}\) . Ainsi, l'image du point \(\text{A}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) est le point \(\text C\).
 On construit le point \(\text D\) tel que \(\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{v}\), puis le point \(\text E\) tel que \(\overrightarrow{\text{DE}} = \overrightarrow{u}\). Ainsi, l'image du point \(\text{A}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\) est le point \(\text E\).
Dans un premier temps, on a \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DE}} = \overrightarrow{u}\) donc le quadrilatère \(\text{ABED}\) est un parallélogramme. Donc on a \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AE}}\) soit \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{AE}}\).
Dans un second temps,  on a \(\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}\) donc le quadrilatère \(\text{ABCD}\) est un parallélogramme. Donc on a \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AC}}\) soit \(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{AE}}\).
En remarquant que, d'après ce qui précède, on a \(\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AE}}\), on a donc \(\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}}\).